ejemplo de proyectiles

Minuto 90 de juego... Lopera se acerca al balón para lanzar un libre directo a 40 metros exactos de la portería, da dos pasos hacia atrássss y lanzaaaa. El balón describe una trayectoria parabólica y sale con una elevación de 20º... y ¡¡¡¡¡GOOOOLLL!!!! ¡¡¡¡GOOOOOOOLLL!!!! ¡¡¡¡El balón entra por la escuadra a 1.70 metros de altura!!!. Tras oir esta emisión en la radio, ¿sabrías responder a las siguientes preguntas?

a) Desde que Lopera chuta y marca el gol, ¿cuánto tiempo ha transcurrido y a qué velocidad salió el balón desde las botas de Lopera?
b) ¿Qué altura máxima alcanzó el balón?
c) ¿Con qué velocidad llegó el balón a la portería?

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Solución

Cuestión a)

El instante en el que el balón llega a la portería x=40 m e y=1.7 m. Sustituyendo en las ecuaciones de la posición del movimiento parabólico:

x=v0⋅cos(α)⋅ty=v0⋅sin(α)⋅t−12⋅g⋅t2}⇒40=v0⋅cos(20)⋅t1.7=v0⋅sin(20)⋅t−12⋅9.8⋅t2}⇒40=v0⋅0.94⋅t1.7=v0⋅0.34⋅t−4.9⋅t2}⇒t=1.61 sv0=26.36 ms/}

Cuestión b)

Cuando la componente y de la velocidad (vy) sea 0 entonces quiere decir que estaremos en el punto más alto de la parábola. Recuerda que comienza a ascender y su velocidad en el eje y va disminuyendo hasta que se anula y comienza a ser negativa para descender.

vy=v0y−g⋅t⇒vy=v0⋅sin(α)−g⋅t ⇒0=26.36 ms/⋅sin(20º)−9.8 ms2/⋅t ⇒t=9.05 ms/9.8 ms2/⇒t=0.92 s

Ahora ya estamos en condiciones, aplicando la ecuación de posición en el eje y, y sustituyendo por el instante que hemos obtenido, de determinar la altura máxima alcanzada:

y=H+v0y⋅t−12g⋅t2⇒y=0+26.36⋅sin(20)⋅(0.92)−12⋅9.8⋅(0.92)2⇒⇒y=4.14 m

Cuestión c)

Sabiendo que el balón llegó a la portería en 1.61 s, su velocidad se obtiene:

vx=26.36⋅cos(20)=24.77 ms/vy=26.36⋅sin(20)−9.8⋅1.61=−6.76 ms/v=vx2+vy2−−−−−−−−√=(24.77)2+(−6.76)2−−−−−−−−−−−−−−−−√=25.67 ms